作者：刘美良

随着新一轮课程改革的推进与实施，高考命题已由能力立意向素养导向转变，重塑学生的思维方式，使学生形成以自然、本原的方式思考问题，是当下教师在数学复习时应关注的重要课题. 问题与问题解决是教学设计的逻辑生长点，本文基于教材知识，以椭圆的几何性质中的对称性为例，以典型问题为“母题”，尝试改变问题的题设条件与结论，不断拓展问题，在教与学的互动过程中设疑、释疑、生疑，从而实现知识和方法的有效迁移，发展学生的思维.

一、内容解析

椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，这是椭圆的一个简单又很重要的性质. 从椭圆的标准方程[x2a2+y2b2=1a>b>0]的视角分析，将方程中的[x]换成[-x，][y]换成[-y]，方程的形式不变；从几何视角分析，椭圆的对称性体现在双焦点[F1，F2]和双准线的相伴相生，中心弦[AB]关于原点对称即[OA=OB]等，如图1所示. 椭圆的对称性也体现在过左、右焦点的平行线段长度相等，如图2，

从椭圆的对称性的视角来考虑问题，使得解题过程更加自然、本原、简洁、高效. 在高考中也有很多与椭圆对称性有关的经典试题，或许这正是命题人的独具匠心，将“源于教材，高于教材”的命题立意充分地展示出来. 同时，很好地考查了学生的直观想象和逻辑推理素养，以及抽象概括和数学运算能力，突出高考试题的选拔功能. 因此，我们有必要对椭圆的对称性及它在解题中的运用进行深入研究，并从系统的高度，领会问题设计的原点及走向，把握问题族群的结构形态，从而才能在思维发展遇到瓶颈时找到突破的方法，最终实现对一类问题的定向突破.

二、教学分析

1. 教学目标

（1）能从对称的视角熟练掌握椭圆中的焦点弦、平行弦问题的转化方法，理解、把握问题的几何结构形态.

（2）通过对椭圆对称性问题的拓展研究，能从系统的高度，领会平行弦倍值问题的本原，即线段的定比分点问题.

（3）结合问题的几何结构，掌握从代数的视角合理转译几何关系并构建以某个参变量为变量的函数或以其为未知数的方程.

（4）通过对椭圆对称性问题的探究，理解运算对象，选择运算方法，培养学生的直观想象和逻辑推理素养，以及数学运算能力，发展学生的思维品质.

2. 教学重、难点

（1）结合椭圆的定义，从对称的视角出发，掌握椭圆中的焦点弦、平行弦问题的转化方法.

（2）依据问题的几何结构，构建以参变量为变量的函数或以其为未知数的方程，并进行合理的代数变形，是本节的重点，也是难点.

3. 教学过程

本节课的授课对象为高三学生，基础较为扎实，自主探究、互动交流意识较强. 本节课采用“自主探究”教学模式，遵循自主性、针对性、系统性的教学原则，以一个常规的典例问题为“母题”，以问题链的形式，逐层推进.

问题1：如图3，设椭圆[C： x24+y23=1]的左焦点为[F，] 直线[l：x-y+3=0，] 动点[P]在椭圆[C]上，记点[P]到直线[l]的距离为[d]，则[PF-d]的最大值是    &nbjvFtxVjNST80Hr7v3+qeAQesvk8m63PRaPyI8qmVTW8=sp; .

师生活动：先由学生观察、思考、交流，发现问题的背景是椭圆的定义运用. 从几何直观感知，选择右焦点[F]，也是椭圆对称性的体现.

解：设椭圆的右焦点为点[F]，对[PF-d]进行转化. [PF-d=2a-PF-d=4-PF+d，] 所以当[PF+][d]最小时，[PF-d]取到最大值. 显然当[PF⊥l]时，[PF+d]最小，此时[PF+dmin=1-0+32=22，] 所以[PF-dmax=4-22].

【设计意图】引导学生利用椭圆定义，将焦点弦[PF]转化为[2a-PF]，体会椭圆中双焦点的“相伴相生”这一对称特性，是培育学生直观想象能力的一次实践.

问题2：如图4，已知点[P]为椭圆[C： x24+y23=1]上的动点，点[A2，-1]，点[B]是圆[C1： x-12+y2=1]上的动点，则[PB-PA]的最大值为（    ）.

师生活动：相较于问题1，该题有两个动点. 教师需要引导学生固定其中一个点，再进行比较、分析、讨论. 最后确定先固定点[P]较合理，从而明确[PB]取到最大值时的几何位置，即[P，C1，B]三点共线，于是将问题回归到双焦点的对称性转换的思维路径.

解：如图5，设椭圆的左、右焦点分别为[F1，F2，] 则由题意可得点[F2]和点[C1]重合. 当点[P]固定在椭圆上某一点时，[PB≤PC1+1=PF2+1=5-PF1.] 所以[PB-PAmax=5-PF1-PAmax.] 当点[P]位于线段[AF1]与椭圆[C]的交点时，[PF1+PA]的值最小，[PF1+PAmin=][AF1=10]. 所以[PB-PAmax=5-PF1+PAmin=5-][10.] 故选D.

【设计意图】让学生理解“双动”模型的基本转化方法是“一动一定”，再次领会运用双焦点的相互转化（椭圆的对称性）是解决此类问题的本原性方法.

解題是一种认知活动，是对概念、定义、定理的继续学习，是对模式、技能、方法的继续熟练，而不仅仅是对“规则的简单重复”“生硬执行”. 问题1到问题2是遵循着学生的思路，搭建从“一动一定”到“两动一定”的思维脚手架，通过几何直观与逻辑推理，探寻其“自然”的转化方法，即利用椭圆的双焦点的对称转换解决问题，这也是椭圆对称性在解题中的体现.

问题3：如图6，若点[M]坐标为[1，0，P，Q]是椭圆[C： x24+y23=1]上的点（[Q]在第一象限），且直线[PM，][QM]的斜率互为相反数，设[PMQM=2]，则直线[QM]的斜率为      .

师生活动：由学生独立思考，分析题设条件与目标指向，然后交流、讨论得到直线[QM]斜率的三种视角. 一是求出点[Q]的坐标；二是设出直线的斜率并构建关于斜率的方程，引导学生从几何直观上发现点[M]是椭圆的右焦点及弦[PM，QM]的对称性，为问题的求解预设了更多思维空间；三是从椭圆定义的视角出发，利用焦点三角形将问题转化为求倾斜角的某一个三角函数值.

解法3：如图9，反向延长[MQ]交椭圆于点[A]，则[A，P]关于[x]轴对称，故[AM=MP]，易知点[M1，0]为椭圆[C]的右焦点，故设左焦点为[M-1，0].

【设计意图】问题3是让学生体会如何将不共线的线段比值问题转化为共线的倍值问题，并在自主探究、合作交流的过程中选择设点设线两个维度，充分发挥椭圆的对称性，从相似、对称、解三角形的视角设计算法，在开展一题多解的过程中，优化算法，培育学生的数学运算素养.

数学解题是合乎逻辑的判断和有根据的运算. 在以上三个问题的教学活动中，教师从椭圆的对称性的视角出发，基于学生思维的最近发展区，沿着学生的思路，从“一动一定”到“两动一定”，从“两弦”回归到“一弦”，历经双焦点、焦点弦、平行弦的对称转换，明晰问题的几何特性与转化方法，实现知识与方法的有效迁移与运用. 教学活动中重视引导学生对不同的观点和方法（包括自己原先的观点和方法）做出比较，并能通过充分交流与反思实现认识的不断优化，在“一题多解”中发现“多解归一”的算理本质. 例如，问题3的核心是运用对称将不共线的线段比值问题转化为共线的倍值问题，这体现了数学的探索性和创造性，是师生“明道”的过程，也是学生能力发展、提升的过程.

问题4：（2018年浙江卷·17）如图10，已知点[P0，1，]椭圆[x24+y23=m m>1]上两点[A，B]满足[AP=2PB]，则当[m]的值为      时，点[B]横坐标的绝对值最大.

师生活动：由学生观察发现，向量式[AP=2PB]是线段的倍值问题，从而从设点与设线两个视角进行解题探究.

【设计意图】问题4意在让学生清晰地体会到平行弦的倍值问题，通过对称性转化解释线段的定比分点问题，是对问题3的回归. 同时，明确对称性问题设计的原点及走向，并从系统的高度把握此类问题的结构形态，固化和强化分点问题的代数运算的方式、技巧和方法.

问题5：从知识、方法和数学思想等方面能否说说学习本节课的收获与体会？并从运算的视角谈谈解析几何算法设计的心得体会.

【设计意图】让学生对一节课的内容有整体的认识与感悟，培养学生及时归纳、总结和反思的习惯，引导学生形成科学的学习方法，提高数学核心素养.

通过问题1至问题4可以得到如下结论.

① 对于平行的线段倍值问题，运用椭圆的对称性可转化为共线段的定比分点问题.

② 对于椭圆中的共线段的倍值问题，可以使用设点、设线两种方式解决. 其中椭圆的“垂径定理”“点差法”是解决此类问题的通法，可以进行一般化拓展.

推广：定点[M0，m]，在椭圆[x2a2+y2b2=1a>b>0]上两点[A，B]满足[AM=λMB]，则当[m]的值为      时，点[B]横坐标的绝对值最大.

4. 课后巩固

练习1：椭圆[C： x24+y2=1]，椭圆[C： x28+y22=1.]点[P]为椭圆[C]上一点， 直线[PO]与椭圆[C]依次交于点[A，B]，则[PAPB]的值为      .

练习2：已知椭圆[x24+y23=1]左焦点为[F]，点[P]在椭圆上且在[x]轴的上方，若线段[PF]的中点在以原点[O]为圆心、[OF]为半径的圆上，则直线[PF]的斜率是      .

练习3：设[F1，F2]分别为椭圆[C： x24+y2=1]的焦点，点[A，B]在椭圆上，若[F1A=5F2B]，则点[A]的坐标是      .

练习4：已知椭圆[x2a2+y2b2=1 a>b>0]的右焦点[Fc，0]关于直线[y=bcx]的对称点仍在椭圆上，则此椭圆的离心率是      .

【设计意图】练习1至练习3意在巩固学生对对称性转化的方法的掌握，使他们体会问题解决的自然、高效. 练习4主要激发学生的思维，从对称的角度学以致用，培养学生思维的灵活性.

三、教学感悟

1. 微专题的内容选择要有针对性，问题之间具有关联性，促进课堂效率的提高

微专题的教学内容要针对高考考查的重点、热点、难点或学生的困惑点来选题，选择“真问题、实问题”. 依据循序渐进的教学原则，选择典型的、有拓展性的问题为“母题”，通过改变问题的条件形成问题串或问题链，各个问题围绕“母题”展开，相互联系、环环相扣、层层递进，使学生明确方向，达成教学目标. 那种没有内在联系，将问题拼凑在一起的课堂设问是达不到预期效果的. 用联系的观点进行分析思考，才能达到更大的认识深度；反之，也只有达到更大的认识深度，才能更好地发现不同對象之间的联系. 教师要有效整合教与学的资源，尤其是对教材资源的析取，选择本原性问题作为切入点，帮助学生构建清晰的知识体系，让学生体会到解题方法的形成不是无本之木、无源之水. 例如，本文中的双焦点相伴相生、平行弦的转换就是对教材中椭圆对称性的完美诠释. 因此，微专题教学中的问题理应是蕴含着数学概念、性质、原理和数学思想方法的再发现的数学问题.

2. 微专题教学要以提升解题能力、发展思维为目标，促进学生深度学习

教会学生解题是微专题教学的重要任务. 在微专题教学中，要顺应学生原有的认知基础，构建前后一致、思维逻辑连贯的学习过程：从审题到解题策略的选择和难点的突破再到思想方法的合理运用，构建解决一类问题较为清晰的“策略路线图”；要在数学活动中开展一题多解、一题多变、多题归一等方法的思考与探索，达到做一题、归一类、得一法、通一片，引导学生体会不同解法之间的内在联系，探寻相互之间共同的本质属性，寻根溯源，直达本质. 本专题始终紧扣椭圆的对称性这一主题，实现双焦点的相伴相生、平行弦的转换，使学生在掌握数学知识的过程中确立线段分点模型，把握解题核心，最终实现解题能力和数学思维的可持续发展. 思维是数学的灵魂，数学学习不应仅停留于具体的数学知识与技能，应更加注重“学会数学的思维”，让思维在问题链中“浅入深出”，促进学生深度学习.

3. 微專题教学要以问题为引领，以探究为主线，提升数学核心素养

基于“一题一课”的微专题教学，问题应由浅入深，逐层推进. 从内容上看，是问问相联、环环相扣；从目标上看，是步步深入，由此及彼. 每一问都是知识和方法的自然延伸，每一问都是学生思维品质的一次锤炼.“问题引领”不仅体现在课堂教学的开始部分，还体现在微专题教学的各个环节. 在开始部分，教师应当重视核心问题的提炼与再加工，从而调动学生的学习积极性，聚焦专题教学内容的重点与难点. 例如，问题1和问题2的设计就着眼于椭圆对称性的初步运用，利用椭圆的定义完成问题转化. 在教学的中间环节，应根据预设与教学实情持续引导学生，包括“核心问题”的明朗化与再聚焦，通过追问、反问和设疑促进学生主动探究、深入思考，形成解决问题的策略. 在教学结束环节，通过设置适当的问题引导学生反思总结，通过课后练习促使其思考，体现了教学的“开放性”. 因此，问题是把教师的教转化为学生的学的桥梁与纽带，是能够增强学生学习动力的助推器. 微专题教学要借助问题，变教为引，变明示为暗示，进而做到“道而弗牵、强而弗抑、开而弗达”，启迪学生的思维，发展学生的数学核心素养.

总之，落实直观想象、逻辑推理和数学运算等素养的主体是学生，主要途径是课堂教学，所以让学生学会数学地思考是微专题教学设计的关键. 从这个意义上讲，基于“一题一课”的复习教学需要不断完善与发展，期待更多的同仁给出更多建议！

参考文献：

［1］罗增儒. 解题教学是解题活动的教学［J］. 中学数学教学参考（上旬），2020（11）：2-5.

［2］郑毓信.“数学深度教学”的理论与实践［J］. 数学教育学报，2019，28（5）：24-32.

［3］吴统胜. 基于素养导向的微专题复习教学设计与反思：以“四边形最值问题”为例［J］. 数学通讯（上半月），2020（6）：6-10.

［4］李昌官. 问题中心：素养为本高中数学教学的基本策略［J］. 数学通讯（下半月），2020（6）：1-6，10.

收稿日期：2022-09-01

作者简介：刘美良（1974— ），男，中学高级教师，主要从事高中数学教育研究.

摘自：中国数学教育（高中版） 2022年第11期