数列是高考数学的主要考查内容之一，其试题有着鲜明的特色，发挥了多层次多角度考查能力的功能.
数列试题的难度分布幅度大，既有容易的基本题和难度中等的小综合题，也有综合性和思考性强的难题，试题形态多变，时常有新颖的试题入卷.在解答题中，有关数列的试题出现的频率较高，不仅可与函数、方程、不等式、复数相联系，而且还与三角、立体几何密切相关；本题举例说明高考中常出现的数列综合问题.供同学们参考.
一、等差、等比数列的综合
等差、等比数列的综合问题多以解答题的形式出现，涉及等差、等比数列的定义，通项公式及前n项和公式，难度适中，求解此类问题要重视方程思想的应用.
例1（2016年高考山东理数）已知数列{an}的前n项和Sn=3n2+8n，{bn}是等差数列，且an=bn+bn+1.
（1）求数列{bn}的通项公式；
（2）令cn=（an+1）n+1（bn+2）n.求数列{cn}的前n项和Tn.
分析：（1）根据an=Sn-Sn-1及等差数列的通项公式求解；（2）根据（1）知数列{cn}的通项公式，再用错位相减法求其前n项和.
解：（1）由题意知当n≥2时，an=Sn-Sn-1=6n+5，
当n=1时，a1=S1=11=6×1+5，满足上式，
所以an=6n+5.
设数列{bn}的公差为d，由a1=b1+b2a2=b2+b3，
即11=2b1+d17=2b1+3d，可解得b1=4，d=3，
所以bn=3n+1.
（2）由（1）知cn=（6n+6）n+1（3n+3）n=3（n+1）·2n+1，
又Tn=c1+c2+c3+…+cn，
得Tn=3×[2×22+3×23+4×24+…+（n+1）×2n+1]，
2Tn=3×[2×23+3×24+4×25+…+（n+1）×2n+2]，
两式作差，得
-Tn=3×[2×22+23+24+…+2n+1-（n+1）×2n+2]
=3×[4+4（2n-1）2-1-（n+1）×2n+2]
=-3n·2n+2
所以Tn=3n·2n+2.
点评：本题主要考查等差数列的通项公式及求和公式、等比数列的求和、数列求和的“错位相减法”.此类题目是数列问题中的常见题型.本题覆盖面广，对考生计算能力要求较高.解答本题，列出方程组，确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数.本题能较好的考查考生的逻辑思维能力及基本计算能力等.
二、数列的通项与求和
任何数列问题都离不开数列的通项公式或求和公式，因此数列的通项或求和问题是每年的必考热点，既有客观题也有解答题.
例2（2016年高考新课标3理数）已知数列{an}的前n项和Sn=1+λan，其中λ≠0.
（1）证明{an}是等比数列，并求其通项公式；
（2）若S5=3132，求λ.
分析：（1）首先利用公式an=S1n=1Sn-Sn-1n≥2，得到数列{an}的递推公式，然后通过变换结合等比数列的定义可证；（2）利用（1）前n项和Sn化为λ的表达式，结合S5的值，建立方程可求得λ的值.
解：（1）由题意得a1=S1=1+λa1，故λ≠1，a1=11-λ，a1≠0.
由Sn=1+λan，Sn+1=1+λan+1得an+1=λan+1-λan，即an+1（λ-1）=λan.
由a1≠0，λ≠0得an≠0，所以an+1an=λλ-1.
因此{an}是首项为11-λ，公比为λλ-1的等比数列，于是an=11-λ（λλ-1）n-1.
（2）由（1）得Sn=1-（λλ-1）n，由S5=3132得1-（λλ-1）5=3132，即（λλ-1）5=132，
解得λ=-1.
点评：等比数列的证明通常有两种方法：（1）定义法，即证明an+1an=q（常数）；（2）中项法，即证明a2n+1=anan+2.根据数列的递推关系求通项常常要将递推关系变形，转化为等比数列或等差数列来求解.
三、数列与不等式的综合
数列与不等式的综合问题是高考的热点且多出现在解答题中，考查方式主要有三种：（1）判断数列问题中的一些不等关系；（2）以数列为载体，考查不等式的恒成立问题；（3）考查与数列问题有关的不等式的证明.
例3（2016年高考四川理数）已知数列{an}的首项为1，Sn为数列{an}的前n项和，Sn+1=qSn+1，其中q>0，n∈N*.
（1）若2a2，a3，a2+2成等差数列，求{an}的通项公式；
（2）设双曲线x2-y2a2n=1的离心率为en，且e2=53，证明：e1+e2+…+en>4n-3n3n-1.
分析：（1）已知Sn的递推式Sn+1=qSn+1，一般是写出当n≥2时，Sn=qSn-1+1，两式相减，利用an=Sn-Sn-1，得出数列{an}的递推式，从而证明{an}为等比数列，利用等比数列的通项公式得到结论；
（2）先利用双曲线的离心率定义得到en的表达式，再由e2=53解出q的值，要证明不等式，一般想法是求出e1+e2+…+en，但数列{en}的和不可求，因此我们利用放缩法得en>qn-1，从而有e1+e2+…+en>1+q+…+qn-1，右边的和是等比数列的和，可求，此和即为要证不等式的右边.最后利用等比数列的求和公式计算证明.
解：（1）由已知，Sn+1=qSn+1，Sn+2=qSn+1+1，两式相减得到an+2=qan+1，n≥1.
又由S2=qS1+1得到a2=qa1，故an+1=qan对所有n≥1都成立.
所以，数列{an}是首项为1，公比为q的等比数列.从而an=qn-1.
由2a2，a3，a2+2成等差数列，可得2a3=3a2+2，即2q2=3q+2，则（2q+1）（q-2）=0，
由已知，q>0，故q=2.所以an=2n-1（n∈N*）.
（2）由（1）可知，an=qn-1.所以双曲线x2-y2a2n=1的离心率en=1+a2n=1+q2（n-1）.
由e2=1+q2=53解得q=43.
因为1+q2（k-1）>q2（k-1），所以1+q2（k-1）>qk-1（k∈N*）.
于是e1+e2+…+en>1+q+…+qn-1=qn-1q-1，故e1+e2+…+en>4n-3n3n-1.
点评：本题考查数列的通项公式、双曲线的离心率、等比数列的求和公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、计算能力.在第（1）问中，已知的是Sn的递推式，在与Sn的关系式中，经常用n-1代换n（n≥2），然后两式相减，可得an的递推式，利用这种方法解题时要注意a1；在第（2）问中，不等式的证明用到了放缩法，这是证明不等式常用的方法，本题放缩的目的是为了求数列的和.另外放缩时要注意放缩的“度”.不能太大，否则得不到结果.
四、数列与函数的综合
数列是特殊的函数，以函数为背景的数列综合问题体现了在知识交汇点处的命题特点，难度多为中等或中等偏上，多涉及求数列的通项公式、数列的前n项和、数列的最值问题等.
例4在数列{an}中，a1=2，an+1=λan+λn+1+（2-λ）2n（n∈N*），其中λ>0.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求数列{an}的前n项和Sn；
（3）证明存在k∈N*，使得an+1an≤ak+1ak对任意n∈N*均成立.
解：（1）由an+1=λan+λn+1+（2-λ）2n（n∈N*），λ>0，
可得an+1λn+1-（2λ）n+1=anλn-（2λ）n+1，
所以数列{anλn-（2λ）n}为等差数列，公差为1，首项为0，故anλn-（2λ）n=n-1，
所以数列{an}的通项公式为an=（n-1）λn+2n.
（2）设Tn=λ2+2λ3+3λ4+…+（n-2）λn-1+（n-1）λn①
λTn=λ3+2λ4+3λ5+…+（n-2）λn+（n-1）λn+1②
当λ≠1时，①式减去②式
得（1-λ）Tn=λ2+λ3+λ4+…+λn-（n-1）λn+1=λ2-λn+11-λ-（n-1）λn+1，
即Tn=λ2-λn+1（1-λ）2-（n-1）λn+11-λ
=（n-1）λn+2-nλn+1+λ2（1-λ）2.
这时数列{an}的前n项和
Sn=（n-1）λn+2-nλn+1+λ2（1-λ）2+2n+1-2.
当λ=1时，Tn=n（n-1）2.
这时数列{an}的前n项和Sn=n（n-1）2+2n+1-2.
（3）为证明“存在k∈N*，使得an+1an≤ak+1ak对任意n∈N*均成立”，
可以转化为思考“存在k∈N*，使得ak+1ak是数列{an+1an}的最大项”.
本题若用求导法或作差法或作商法来研究数列的单调性颇有难度.
可取n=1，2，3，4，根据an的大小
先大胆猜出an+1an<a2a1=λ2+42（n≥2），再去证明这一结论，方法非常奏效.
只要证明2an+1<（λ2+4）an（n≥2），
因为（λ2+4）an=（λ2+4）（n-1）λn+（λ2+4）2n
>4λ（n-1）λn+4×2n=4（n-1）λn+1+2n+2
≥2nλn+1+2n+2=2an+1，（n≥2）
所以an+1an<a2a1=λ2+42（n≥2）成立.
点评：数列是特殊的函数，不等式是深刻认识函数与数列的重要工具，三者的综合是近几年高考命题的新热点，且数列的重心已经偏移到不等式的证明与求解中，而不再是以前的递推求通项.对于数列问题中求和类（或求积类）不等式证明，如果是通过放缩的方法进行证明的，一般有两种类型：一种是能够直接求和（或求积），再放缩；一种是不能直接求和（或求积），需要放缩后才能求和（或求积），求和（或求积）后再进行放缩.在后一种类型中，一定要注意放缩的尺度，二是要注意从哪一项开始放缩.
出处：中学课程辅导高考版·学生版 作者：刘淑静